随机选取两个正整数，如(1,1230102),(1344,12319045)…他们互质的概率是 $$\frac{6}{\pi^2}$$
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证明：
$$令a_i为素数数列，即a_i={2,3,5,7…}$$ $$设x,y为一对随机正整数$$ $$\because 能整除a_i的数总是每隔a_i个出现一次$$ $$\therefore x能整除a_i的概率是\frac{1}{a_i}$$ $$同理，y能整除a_i的概率同样是\frac{1}{a_i}$$ $$x与y都能整除a_i的概率是\frac{1}{a_i^2}$$ $$x与y不都能整除a_i的概率是1-\frac{1}{a_i^2}$$ $$显然，x与y互质的概率是\prod_{i=1}^{\infty}1-\frac{1}{a_i^2}$$ $$\prod_{i=1}^{\infty}1-\frac{1}{a_i^2}=\frac{1}{\prod_{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{a_i^2}}}$$ $$\because \prod_{i=1}^\infty{\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{a_i^{2j}}}=\prod_{i=1}^{\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{a_i^2}}$$ $$\therefore \prod_{i=1}^{\infty}1-\frac{1}{a_i^2}=\frac{1}{\prod_{i=1}^\infty{\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{a_i^{2j}}}}$$ $$=\frac{1}{(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+…)(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+…)(1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+…)…}$$ $$根据正整数的唯一分解定理$$ $$可得，原式=\frac{1}{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+…}$$ $$即\frac{1}{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}}$$ $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}是黎曼ζ函数ζ(s)在s=2时的情况$$ $$其值为\frac{\pi^2}{6}$$ $$原式=\frac{6}{\pi^2}$$ $$更多关于ζ(2)=\frac{\pi^2}{6}的严密证明方法以及参考过的资料:$$ [ζ(2)=π2/6的十四种证明][1]
[巴塞尔问题][2]
[OEIS数列][3] [1]:http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf [2]:http://zh.wikipedia.org/wiki/巴塞尔问题 [3]:http://oeis.org/A013661